1-. tiene pinta de ser carburacion o bujia, limpiando carburador y un poco de tacto seguramente arrancaria mejor
2-. seguramente con cambiar el cable engrasandolo bien gane ese retroceso, tampoco estaria de mas mirar el estado de la camisa
3-. no soy muy de primaveras, pero creo que funcionan a 6v, no se pueden pedir peras al olmo...XD

Todo esto dependiendo del estado general de la moto, si estaba funcionando o lleva tiempo parada al igual que el cuidado que la hayan dado....

Como la arrancas? Porque si tiras de starter y das gas no es problema de la moto , lo de la luz trasera de freno es normal y lo del puño de gas tambien

Pues la arranco con una carrerita y metiendo segunda punto muerto segunda acelerando y hop!!!

Lo de la luz trasera es normal si la instalación es de 6 voltios.
Lo del retroceso, engrasando bien el cable debería mejorar, pero lo normal creo que es que se deba, o bien a que tubo del puño no es exactamente el suyo y roce con su alojamiento y/o que el muelle del carburador que devuelve la palanquita que abre el paso de aire/gasolina a su posición de cerrado está más pa allá que pa acá, y por eso no estira bien del cable y del puño.
Lo de tener que empujar, pueden ser muchas cosas: bujía encharcada y, por tanto, mala carburación, desgaste de platinos y/o condensador, bobina de alta en mal estado, pipa partida..... A mí me pasaba hace unas semanas y al final fue la cosa más tonta: se me soltó el cable del estarter del tirador, y eso que hacía años que no lo tocaba.